$\sin \theta - \cos \theta = \sqrt{2}$ হলে, $\theta$ এর মান কত?

ব্যাখ্যাঃ

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

\[\sin\theta - \cos\theta = \sqrt{2}\]

এই ধরণের সমীকরণ সমাধানের জন্য, আমরা উভয় পক্ষকে একটি নির্দিষ্ট মান দ্বারা ভাগ করি। এক্ষেত্রে আমরা \(\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}\) দ্বারা ভাগ করব।

উভয় পক্ষকে \(\sqrt{2}\) দ্বারা ভাগ করে পাই:

\[\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\] \[\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta = 1\]

আমরা জানি, \(\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\) এবং \(\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)। এই মানগুলো সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি:

\[\cos\frac{\pi}{4}\sin\theta - \sin\frac{\pi}{4}\cos\theta = 1\]

এটি \(\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B\) এই ত্রিকোণমিতিক সূত্রের মতো দেখতে। এখানে \(A = \theta\) এবং \(B = \frac{\pi}{4}\)।

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:

\[\sin\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) = 1\]

আমরা জানি যে \(\sin x = 1\) হলে, \(x\) এর একটি সাধারণ সমাধান হলো \(2n\pi + \frac{\pi}{2}\), যেখানে \(n\) একটি পূর্ণসংখ্যা। প্রদত্ত বিকল্পগুলির মধ্যে উপযুক্ত মান খুঁজে বের করতে আমরা \(n=0\) ধরে নিতে পারি।

\[\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\]

এখন \(\theta\) এর মান নির্ণয় করি:

\[\theta = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}\]

ভগ্নাংশের যোগফল নির্ণয় করি:

\[\theta = \frac{2\pi + \pi}{4}\] \[\theta = \frac{3\pi}{4}\]

সুতরাং, \(\theta\) এর মান \(\frac{3\pi}{4}\)।

সঠিক উত্তর হলো \(\frac{3\pi}{4}\)।